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半導体用語集

累積ハザード紙

英語表記：cumulative hazard paper

　グラフィックに寿命データを解析するように設計された用紙で，縦軸（y軸）に累積ハザード関数(H)を，横軸（x軸）に時間(t)を割り当て，データをプロットした後，そのデータ点列に適合する直線を目の子（目分量）で引き，データ点への直線の当てはまり具合から，分布への適合性を判断し，定規の操作と線引きのみから母数を推定することができる用紙である。現在では同様の操作をパソコンで行うことが多いが，その場合でもあくまでもグラフィックに解析を行っているのであり，最尤法などを用いる数値解析法とは異なる。類似の方法である確率紙法より汎用性が高い方法である。
　ここでは，累積ハザード紙に共通の考え方を説明するとともに，よく使われるワイブル型累積ハザード紙について，その構成と使い方を具体的に説明する。
　累積ハザード紙はランダム打ち切りデータに適用できるのが最大の特徴である。もちろん，完全データ，定時打ち切りデータ，定数打ち切りデータへの適用も可能であるが，信頼区間の表示ができていないため，信頼区間の表示が必要な場合は確率紙を使う必要がある。
　累積ハザード関数と時間のy軸およびx軸への目盛りづけは，対応する分布がグラフ上で直線になるように行う。これが直線であることで，分布への適合性の判断を容易に目でみて行え，また定規の操作と線引きのみでパラメータの推定が可能になる。ワイブル分布の場合には図1下部の式1のように表わせ，y軸とx軸にIn HとIn tを割り当てると，傾きがm，y=0の時のtの値がηとなる。この性質を利用してワイブル型累積ハザード紙を構成し，データ点を基にmとηを求める。
　打点すべきデータ点のx座標は寿命データそのものである。y座標はHの推定値を用いればよい。Hの推定値は図1下部の式2で与えられる⋆。Hはハザード関数hを積分したものであり，推定値は式2のようにhの推定値の和として求める。hは故障率λそのものであり，ここでは，習慣上記号と名前が異なるだけである。hの推定値が式3で与えられることは，故障率の定義((次の単位時間に故障する確率)/(その時点で残存している確率))より理解できるであろう（「故障率」の項参照）。
　ワイブル型累積ハザード紙の構成法の図1を参照しながら具体的に説明する。x軸，y軸とも対数で目盛られたグラフ用紙を用意する。グラフの右側のy軸にIn H(t)を，上側のx軸にIn tを目盛る。x軸の下側の軸はtを直読する。そこに0.1，1，10，100と目盛る。上側の対応する個所にIn tの値を一2から4まで目盛る。たとえば上側の目盛のIn t=0,1,2に対応したtは，おのおのexp(0)=1，exp(1)=2.72，exp(2)=7.39である。次に，H(t)の値をy軸の左側に0.1％から691％の範囲で目盛る。y軸の右側にこれに対応するIn Hの値を，-7から2の範囲に目盛る。図1は説明用なので目盛りはあまり細かく目盛っていないが，実際のワイプル型累積ハザード紙では右側は0.1刻みである。左側は500％付近の最も荒いところで50%刻み，0.1％付近の最も細かいところで0.01％刻みで目盛ってある。最後にIn H=0とIn t=1の線が交差する点に丸印をつけて，ワイブル型累積ハザード紙ができあがる。
　次に，使い方を説明する。簡単のために完全データでまず説明し，後でランダム打ち切りデータの例を示す。解析手順の概要を，図1に手順1から手順5と示した。まずデータ点(ti，H(hi)の推定値)を上述の方法で打点する（手順1）。データがt=0.1と 100の範囲に入らない場合は，下のx軸の目盛を10のべき乗倍ずらし，目盛の数字を書きかえるだけでそのまま使える。次に目の子(目分量)で直線を当てはめる（手順2）。この時，通常の実験値への直線の当てはめと異なる点がある。縦軸のHの値に対応するFをHの目盛りの左に目盛ったが，それをみるとその密度は30％から90％が最も高く，その範囲より外では低い（Hではほぽ40％から200％に対応）。したがって，この範囲の外側ではデータ点のばらつきが大きくなる。このことを理解し，直線の当てはめは40％から200％の範囲のデー夕点に重きを置き，その範囲外のデータ点の重みは低くする必要がある。この点を考慮するとパソコンで解析する時も，直線の当てはめだけは目の子当てはめをすることが望ましい。また，図1のデータはよく直線に乗っているが，実際のデータはこの程度の少数データでは，サンプリングによるばらつきにより，これほどは乗らないことも多い。A4横長いっばいに，図1のような範囲に目盛を構成した確率紙を用いた時，データ点が鉛筆に隠れる程度のばらつきなら乗っているとみなしてよい，というのがおおまかな判断基準である。さて，次にこの直線からmとηを求める。mはこの直線の傾きであるから，同じ傾きの他の直線の傾きを求めてもよい。In t=1とIn H=0が交差する点（丸印がついている）を通り，この直線に平行な線を引く（手順3）。この直線がIn t=Oと交わる点から水平に右側に線を引き，y軸と交わった点の値(-m)を読み取る（手順4)。式1より，ηはIn H=0の時のtの値であるから，メノコ直線がIn H=Oの線と交わる点から垂線を下ろしx軸と交わった値を読むとηが得られる（手順5）。
　次にランダム打ち切りデータの場合を表1を参照しながら説明する。サンプル数は20である。このうち，故障データは順位が1，2，3，5，6，13，15の7個で，他は打ち切りデータである。hおよびHの推定値は，図1中の式2，3に基づいて，故障データについてのみ求める。その後の手順は上の完全データの例と同じなので省略する。故障原因が多数ある場合は，故障原因ごとに解析する。その際に，他の原因での故障時間は打ち切りデータとみなして解析する。

⋆　確率紙では累積分布関数(F)の推定値を順序統計に基づくパーセントランクを用いて打点できるため，信頼区間の表示が可能であるが，累積ハザード法ではHをこのように推定するため，信頼区間の表示ができない。

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